LATEX

製作直方圖

Step 1
決定組數 k – Sturges’method
k = 1+3.322\log_{10}N
N = 觀測值的總數 2^{k}\geq N
Step 2
計算組距 (Class Interval)
組距 = ( 最大觀測值 - 最小觀測值 ) / 組數

Step 3
決定每一組的上與下的組限 (Lower and Upper lass Limits) 與組界 (Class Boundaries)

Step 4
計算組值 (Class Values) = 上下組界之平均

Step 5
計算觀測落在每組上與下組界內之次數
(Frequency)

Step 6
計算每組的累計次數 (Cumulative frequency)

Step 7
計算每組的相對次數 (Relative frequency, or proportion) 或累計相對次數 (Cumulative
relative frequency, or Cumulative proportion)

Step 8
將組值為橫軸計次數為縱軸，組距為各組之寬度
繪製成直方圖

族群平均

若族群中元素代表某一特性的變數以 X_{1}X_{2}...X_{N}代表(N為族群的大小)
族群平均定義為 \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_{i}

變方

變方為每一個觀測值與族群平均之距離平方的
平均

\sigma ^{2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (X_{i}-\mu)^{2}

幾何平均

若觀測值均為正數且其分佈為右偏算術平均數
未能代表均中性故先取對數轉換 (Logarithmic
Transformation) 轉換後之觀測值分佈數為對稱
– 計算其算術平均數
– 再取反對數轉換
– 得幾何平均數
– 原始觀測值的中量

\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}
u=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\log_{10}x_{i}
\bar{x_{g}} = antilog(u)=10^{u}

調和平均數

各觀測值之倒數平均值，其計算式如下

\bar{X_{H}} = \frac{1}{\frac{1}{n}(\frac{1}{X_{1}}+\frac{1}{X_{2}}+...+\frac{1}{X_{n}})}

樣品變方 (Sample Variance) － 均方 (Mean Square)

S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}

均方之單位為觀察值單位的平方
SD 之單位為觀察值單位
計算公式中
– 分子：為偏差的平方和
– 分母：為自由度
因S^{2}由偏差計算所得，
故可以自由變動的偏差個數為 n-1 ，
所以S^{2}為偏差平方和之平均，故又稱為均方

簡化均方計算公式
\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}   = \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}\bar{x}+\bar{x}^{2})   = \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{x}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^{2}

= \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^{2}

= \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - 2(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n})\sum_{i=1}^{n}x_{i} + n\bar{x}^{2}

= \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - 2\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{n}+n(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n})^{2}

= \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - \frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{n}

樣品標準偏差 (Sample Standard Deviation), SD

S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}